Badania operacyjne (ang. *Operations Research*) to interdyscyplinarna dziedzina nauki zajmująca się tworzeniem i analizą modeli matematycznych wspomagających podejmowanie optymalnych decyzji w złożonych systemach. Powstała w odpowiedzi na potrzeby efektywnego zarządzania zasobami i procesami, zwłaszcza w kontekście militarnym podczas II wojny światowej, a obecnie znajduje zastosowanie w wielu obszarach, takich jak przemysł, logistyka, ekonomia czy zarządzanie.

Celem badań operacyjnych jest dostarczenie narzędzi umożliwiających:

• identyfikację i precyzyjne sformułowanie problemów decyzyjnych,
• opracowanie modeli matematycznych odzwierciedlających rzeczywiste sytuacje,
• analizę tych modeli w celu znalezienia optymalnych lub zadowalających rozwiązań,
• wdrożenie i monitorowanie wybranych rozwiązań w praktyce.([sylabus.uj.edu.pl][1])

Model matematyczny – uproszczony opis rzeczywistego systemu lub procesu, wyrażony za pomocą równań, nierówności i funkcji celu. Modele te pozwalają na analizę i optymalizację zachowań systemów.

Zmienna decyzyjna – wielkość, której wartość jest ustalana w procesie podejmowania decyzji, np. ilość produkowanych jednostek produktu.

Funkcja celu – matematyczne wyrażenie opisujące cel optymalizacji, którym może być maksymalizacja zysku, minimalizacja kosztów, czasu czy ryzyka.

Ograniczenia (warunki brzegowe) – zbiór równań lub nierówności, które określają dopuszczalne wartości zmiennych decyzyjnych, wynikające z dostępnych zasobów, technologii czy innych uwarunkowań.

Rozwiązanie dopuszczalne – zestaw wartości zmiennych decyzyjnych spełniających wszystkie ograniczenia modelu.

Rozwiązanie optymalne – rozwiązanie dopuszczalne, które prowadzi do najlepszego możliwego wyniku funkcji celu.

1. Definicja problemu – dokładne określenie celu analizy i identyfikacja kluczowych elementów systemu.

2. Budowa modelu – przekształcenie problemu rzeczywistego w model matematyczny, uwzględniający zmienne decyzyjne, funkcję celu i ograniczenia.

3. Rozwiązanie modelu – zastosowanie odpowiednich metod matematycznych do znalezienia rozwiązania optymalnego.

4. Weryfikacja modelu – sprawdzenie, czy model adekwatnie odzwierciedla rzeczywistość i czy rozwiązanie jest praktycznie wykonalne.

5. Implementacja rozwiązania – wdrożenie wybranego rozwiązania w praktyce i monitorowanie jego efektywności.

Badania operacyjne znajdują zastosowanie w wielu dziedzinach, takich jak:

• Logistyka i transport – optymalizacja tras, zarządzanie flotą, planowanie dostaw.
• Produkcja – planowanie produkcji, zarządzanie zapasami, harmonogramowanie zadań.
• Finanse – optymalizacja portfela inwestycyjnego, zarządzanie ryzykiem.
• Służba zdrowia – alokacja zasobów, planowanie personelu, optymalizacja procesów medycznych.
• Zarządzanie projektami – harmonogramowanie, alokacja zasobów, analiza ścieżki krytycznej.

1. Węglarz, J. (2009). *Badania operacyjne*. Politechnika Poznańska.([sirius.cs.put.poznan.pl][2])

2. Krawczyk, S. (1996). *Badania operacyjne dla menedżerów*. Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu.([logistyka.net.pl][3])

3. Wikipedia. (n.d.). *Badania operacyjne*. Retrieved from [https://pl.wikipedia.org/wiki/Badania\_operacyjne](https://pl.wikipedia.org/wiki/Badania_operacyjne)

Badania operacyjne opierają się na precyzyjnym języku matematycznym, który umożliwia modelowanie złożonych problemów decyzyjnych. Poniżej przedstawiono najważniejsze symbole i wzory, które są niezbędne do formułowania i analizowania modeli optymalizacyjnych.

• Zmienne decyzyjne: \$x\_i\$, \$y\_j\$ – reprezentują ilości, które należy określić w procesie decyzyjnym, np. liczba produktów do wyprodukowania.

• Parametry: \$a\_{ij}\$, \$b\_i\$, \$c\_j\$ – stałe wartości określające cechy modelu, takie jak zużycie zasobów, dostępność czy zyski jednostkowe.

• Funkcja celu: \$Z\$ – wartość, którą chcemy maksymalizować lub minimalizować, np. zysk, koszt, czas.

• Ograniczenia: wyrażone w postaci równań lub nierówności, np. \$a\_{11}x\_1 + a\_{12}x\_2 \leq b\_1\$, które definiują dopuszczalny obszar rozwiązań.

• Dodawanie: \$+\$ – suma dwóch wyrażeń.

• Odejmowanie: \$-\$ – różnica między dwoma wyrażeniami.

• Mnożenie: \$\cdot\$ lub brak symbolu – iloczyn dwóch wyrażeń.([BYJU'S][1])

• Dzielenie: \$/\$ lub \$\div\$ – iloraz dwóch wyrażeń.

• Równość: \$=\$ – oba wyrażenia mają tę samą wartość.([zssio.com.pl][2])

• Nierówności: \$\leq\$, \$\geq\$, \$<\$, \$>\$ – relacje porządku między wyrażeniami.

• Suma: \$\sum\$ – operator sumowania, np. \$\sum\_{i=1}^{n} x\_i\$ oznacza sumę wszystkich \$x\_i\$ od \$i=1\$ do \$n\$.([zssio.com.pl][3], [math.uni.wroc.pl][4])

• Iloczyn: \$\prod\$ – operator mnożenia, np. \$\prod\_{i=1}^{n} x\_i\$ oznacza iloczyn wszystkich \$x\_i\$ od \$i=1\$ do \$n\$.([Smartick][5])

\

W modelach matematycznych często stosuje się indeksy do oznaczania elementów zbiorów:

• \$x\_i\$ – \$i\$-ta zmienna decyzyjna.

• \$a\_{ij}\$ – wartość parametru dla \$i\$-tego ograniczenia i \$j\$-tej zmiennej.

• \$b\_i\$ – dostępność zasobu w \$i\$-tym ograniczeniu.

• \$c\_j\$ – współczynnik funkcji celu dla \$j\$-tej zmiennej.

\

Cel: Maksymalizacja funkcji celu \$Z\$ przy danych ograniczeniach.

$$ \begin{align*} \text{Maksymalizuj } & Z = \sum_{j=1}^{n} c_j x_j \\ \text{przy warunkach: } & \sum_{j=1}^{n} a_{ij} x_j \leq b_i, \quad i = 1, 2, \ldots, m \\ & x_j \geq 0, \quad j = 1, 2, \ldots, n \end{align*} $$ Gdzie:([Medium][6]) * \$x\_j\$ – zmienne decyzyjne.

• \$c\_j\$ – współczynniki funkcji celu.

• \$a\_{ij}\$ – współczynniki ograniczeń.

• \$b\_i\$ – dostępne zasoby.

Problem: Firma produkuje dwa produkty: A i B. Zysk jednostkowy wynosi odpowiednio 40 zł i 30 zł. Produkcja jednego produktu A wymaga 2 godzin pracy i 3 jednostek surowca, a produktu B – 1 godziny pracy i 2 jednostek surowca. Dostępne zasoby to 100 godzin pracy i 120 jednostek surowca.

Model matematyczny:([GeeksforGeeks][7])

$$ \begin{align*} \text{Maksymalizuj } & Z = 40x_1 + 30x_2 \\ \text{przy warunkach: } & 2x_1 + x_2 \leq 100 \quad \text{(czas pracy)} \\ & 3x_1 + 2x_2 \leq 120 \quad \text{(surowiec)} \\ & x_1, x_2 \geq 0 \end{align*} $$

Interpretacja: \$x\_1\$ i \$x\_2\$ oznaczają liczbę wyprodukowanych jednostek produktów A i B. Celem jest maksymalizacja zysku przy ograniczeniach zasobów.

• Węglarz, J. (2009). *Badania operacyjne*. Politechnika Poznańska.([mimuw.edu.pl][8])

• Krawczyk, S. (1996). *Badania operacyjne dla menedżerów*. Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu.

• Wikipedia. (n.d.). *Badania operacyjne*. Retrieved from [https://pl.wikipedia.org/wiki/Badania\_operacyjne](https://pl.wikipedia.org/wiki/Badania_operacyjne)