Jeżeli chcesz zacytować tą pracę:\\ Ostrowski, K. (2025). Zeszyty naukowe z korepetycji: Radiotechnika — Notatki z kursu. Zenodo. https://doi.org/10.5281/zenodo.15341408\\ Przejrzyj wersję PDF tutaj:\\ {{ :notatki:radiotechnika3.pdf |}}\\ ======= Radiotechnika: Analiza modulacji analogowych, modulacji cyfrowych, transimpedancji, układów BalUn i UnUn ======= **Korepetycje Radiotechnika**\\ ====== Modulacje sygnałów radiowych ====== Modulacja sygnału polega na zmianie jednej z jego cech charakterystycznych (amplitudy, częstotliwości lub fazy) zgodnie z informacją zawartą w sygnale modulującym. W niniejszej sekcji omówimy modulacje amplitudowe. ===== Modulacje amplitudowe ===== W modulacjach amplitudowych nośna zmienia swoją amplitudę zgodnie z sygnałem modulującym. ==== Zwykła modulacja AM ==== W klasycznej modulacji amplitudowej (AM) sygnał modulowany ma postać: $$s(t) = \big( A + m(t) \big) \cos(2 \pi f_c t),$$ gdzie: * $A$ – amplituda nośnej, * $m(t)$ – sygnał modulujący, * $f_c$ – częstotliwość nośna. Spektrum sygnału AM składa się z fali nośnej oraz dwóch wstęg bocznych oddalonych o częstotliwość sygnału modulującego. {{:notatki:pasted:20250507-205733.png}} Widmo sygnału AM {{:notatki:pasted:20250507-205743.png}} Wykres sygnału AM ==== Modulacja DSB-AM ==== Modulacja dwuwstęgowa (DSB-AM) jest jedną z form modulacji amplitudy, w której obie wstęgi boczne są przesyłane bez fali nośnej. Wyrażenie na sygnał modulowany w tej formie jest opisane wzorem: $$s(t) = m(t) \cos(2\pi f_c t)$$ gdzie: * $s(t)$ to sygnał wyjściowy, który jest wynikiem modulacji, * $m(t)$ to sygnał informacyjny (modulujący), * $f_c$ to częstotliwość nośną, * $\cos(2\pi f_c t)$ to funkcja nośna o częstotliwości $f_c$. W tej modulacji: * Sygnał nośny $\cos(2\pi f_c t)$ jest pomnożony przez sygnał $m(t)$, który reprezentuje informacje, które mają być przesyłane. * Ponieważ w tej wersji DSB-AM nie przesyła się fali nośnej (zatem nie ma składnika stałego nośnej w sygnale), sygnał jest wyłącznie kombinacją wstęg bocznych powstałych w wyniku modulacji. * Widmo sygnału DSB-AM: {{:notatki:pasted:20250507-205755.png}} ==== Modulacja SSB-AM ==== Modulacja jednowstęgowa (SSB-AM) pozwala na transmisję tylko jednej wstęgi bocznej, oszczędzając pasmo. Wyrażenie na sygnał modulowany w tej formie jest opisane wzorem: $$s(t) = \frac{1}{2} \big[ m(t) + j \hat{m}(t) \big] e^{j2\pi f_c t} + c.c.$$ gdzie: * $s(t)$ to sygnał wyjściowy, * $m(t)$ to sygnał informacyjny (modulujący), * $\hat{m}(t)$ to transformata Hilberta sygnału $m(t)$, * $f_c$ to częstotliwość nośna, * $e^{j2\pi f_c t}$ to składnik nośny w postaci zespolonej, * $c.c.$ oznacza składnik sprzężony zespolony (complex conjugate). W tej modulacji, zamiast dwóch wstęg bocznych, przesyłana jest tylko jedna wstęga boczna (przesyłana w postaci części rzeczywistej i zespolonej), co pozwala zaoszczędzić pasmo.\\ {{:notatki:pasted:20250507-205823.png}} //Transformata Hilberta// to operacja matematyczna, która dla sygnału $m(t)$ generuje sygnał $\hat{m}(t)$, zwany sygnałem hilbertowskim. Jest to transformacja, która przekształca sygnał rzeczywisty na sygnał o tej samej amplitudzie, ale przesunięty w fazie o $90^\circ$. Matematycznie transformata Hilberta $\hat{m}(t)$ jest definiowana jako całka splotowa: $$\hat{m}(t) = \frac{1}{\pi} \, \text{P.V.} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{m(\tau)}{t - \tau} d\tau$$ gdzie P.V. oznacza wartość główną Cauchy’ego, a $m(t)$ to sygnał wejściowy. Transformata Hilberta jest szeroko stosowana w analizie sygnałów, w tym w modulacji SSB-AM, gdzie pozwala na uzyskanie sygnału, który w połączeniu z oryginalnym sygnałem $m(t)$ tworzy jedną wstęgę boczną w procesie modulacji.\\ //Całka splotowa// jest operacją matematyczną, która łączy dwa sygnały w jeden nowy sygnał. Jest to podstawowy koncept w analizie sygnałów i systemów, szczególnie w teorii filtrów i przetwarzania sygnałów. Dla dwóch funkcji $f(t)$ i $g(t)$, całka splotowa $(f * g)(t)$ jest definiowana jako: $$(f * g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(t - \tau) d\tau$$ W kontekście transformacji Hilberta, całka splotowa jest używana do obliczenia sygnału $\hat{m}(t)$, który jest transformowaną Hilberta sygnału $m(t)$. Matematycznie jest to zapisywane jako: $$\hat{m}(t) = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{m(\tau)}{t - \tau} d\tau$$ W tym przypadku, $m(\tau)$ to sygnał wejściowy, a $\frac{1}{\pi (t - \tau)}$ to funkcja, którą używamy do obliczenia transformacji Hilberta. Warto zauważyć, że to wyrażenie jest formą splotu z funkcją $\frac{1}{\pi t}$, znaną również jako funkcja Hilberta. Całka splotowa w tym przypadku "przesuwa" sygnał $m(t)$ w czasie, tworząc nowy sygnał $\hat{m}(t)$, który jest fazowo przesunięty o $90^\circ$ względem $m(t)$, co jest kluczową cechą transformacji Hilberta. Dzięki temu powstaje sygnał, który jest wykorzystywany w modulacji SSB-AM do przesyłania jednej wstęgi bocznej.\\ //Składnik nośny w postaci zespolonej// to wyrażenie $e^{j2\pi f_c t}$, które reprezentuje nośną w postaci zespolonej. W tej formie nośna jest zapisana jako liczba zespolona, gdzie $j$ to jednostka urojona, a $f_c$ to częstotliwość nośna. Składnik $e^{j2\pi f_c t}$ opisuje falę nośną, która ma częstotliwość $f_c$ i jest wyrażona w postaci funkcji wykładniczej. Dzięki postaci zespolonej łatwiej jest manipulować fazą i amplitudą sygnału, co jest szczególnie przydatne w analizie i modulacji sygnałów.\\ Natomiast //$c.c.$// to skrót od angielskiego terminu "complex conjugate" (sprzężenie zespolone). Oznacza to, że oprócz składnika $e^{j2\pi f_c t}$ w wyrażeniu na sygnał $s(t)$, dodaje się jego sprzężenie zespolone, czyli $e^{-j2\pi f_c t}$. Sprzężenie zespolone polega na zmianie znaku przy jednostce urojonej $j$. W kontekście modulacji SSB-AM, składnik sprzężony zespolony zapewnia, że sygnał będzie miał rzeczywistą wartość, ponieważ suma składników zespolonych i ich sprzężonych daje rzeczywisty wynik.\\ ==== Modulacja VSB-AM ==== Modulacja VSB-AM (Vestigial Side Band) stosowana jest w transmisji telewizyjnej, gdzie część jednej wstęgi bocznej jest tłumiona, aby zaoszczędzić pasmo, zachowując jednocześnie możliwość odbioru pełnej informacji. Jest to rodzaj modulacji amplitudy, w której tylko część jednej z wstęg bocznych (zwykle wstęgi dolnej) jest przesyłana, podczas gdy reszta wstęgi jest tłumiona przez odpowiedni filtr. Dzięki temu pasmo sygnału jest mniejsze niż w tradycyjnej modulacji AM, co jest korzystne w transmisji telewizyjnej, gdzie efektywność pasma jest kluczowa. Wyrażenie na widmo sygnału $S(f)$ w modulacji VSB-AM jest zapisane jako: $$S(f) = M(f) H(f),$$ gdzie: - $M(f)$ to widmo sygnału informacyjnego, - $H(f)$ to funkcja przenoszenia filtru, który tłumi część jednej wstęgi bocznej, pozostawiając jedynie "resztkową" część tej wstęgi. Filtr $H(f)$ jest odpowiedzialny za usuwanie nadmiarowych części wstęgi bocznej, co pozwala na zaoszczędzenie pasma, ale w sposób, który nie prowadzi do utraty istotnych informacji. {{vsb.jpg|image}} Wykres widma sygnału VSB-AM ===== Modulacja częstotliwości ===== Modulacja częstotliwości (FM) jest techniką, w której częstotliwość nośnej jest modulowana przez sygnał informacyjny $m(t)$. W odróżnieniu od modulacji amplitudy, gdzie zmienia się amplituda nośnej, w modulacji częstotliwości zmienia się jej częstotliwość w zależności od wartości sygnału modulującego. Wzór na sygnał FM można zapisać jako: $$s(t) = A \cos \left( 2 \pi f_c t + \Delta f \sin(2\pi f_m t) \right)$$ gdzie: - $A$ to amplituda nośnej, - $f_c$ to częstotliwość nośna, - $\Delta f$ to maksymalne odchylenie częstotliwości (częstotliwość dewiacji), - $f_m$ to częstotliwość sygnału modulującego $m(t)$. W widmie sygnału FM, w zależności od wartości $\Delta f$, pojawia się wiele wstęg bocznych rozmieszczonych wokół częstotliwości nośnej $f_c$. Wzór na widmo sygnału FM jest bardziej złożony, jednak jego ogólną postać można zapisać jako: $$S(f) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} J_n(\beta) \cdot \delta(f - f_c - n f_m)$$ gdzie: - $J_n(\beta)$ to funkcja Bessela pierwszego rodzaju z indeksem $n$, a $\beta = \frac{\Delta f}{f_m}$ jest indeksem modulatora (współczynnikiem dewiacji), - $\delta(f)$ to delta Diraca, reprezentująca wstęgi boczne w widmie. Dla małych wartości $\beta$ (modulacja wąskopasmowa), widmo składa się głównie z pierwszej wstęgi bocznej, podczas gdy dla dużych $\beta$ (modulacja szerokopasmowa) pojawia się wiele wstęg bocznych. {{:notatki:pasted:20250507-205846.png}} Wykres widma sygnału FM {{:notatki:pasted:20250507-205858.png}} Widmo sygnału FM z wstęgami bocznymi W przypadku modulacji częstotliwości widmo sygnału FM rozciąga się na dużą szerokość pasma, szczególnie w przypadku dużych wartości $\Delta f$. Oznacza to, że sygnał FM jest bardziej odporny na zakłócenia w porównaniu do sygnałów AM i SSB-AM, jednak wymaga większego pasma transmisyjnego. ===== Modulacja Fazowa ===== Modulacja fazowa (PM) jest techniką, w której to faza nośnej jest modulowana przez sygnał informacyjny $m(t)$. W odróżnieniu od modulacji amplitudy (AM), w której zmienia się amplituda nośnej, w modulacji fazowej zmienia się jej faza w odpowiedzi na sygnał modulujący. Sygnał wyjściowy w modulacji fazowej jest opisany wzorem: $$s(t) = A \cos \left( 2 \pi f_c t + \phi(t) \right)$$ gdzie: - $A$ to amplituda nośnej, - $f_c$ to częstotliwość nośna, - $\phi(t)$ to funkcja fazy, która zależy od sygnału modulującego $m(t)$. Zwykle faza jest związana z sygnałem modulującym przez wzór: $$\phi(t) = k_p \cdot m(t)$$ gdzie $k_p$ to współczynnik wzmocnienia fazowego, który określa, jak bardzo sygnał modulujący wpływa na zmianę fazy nośnej. Widmo sygnału PM jest podobne do widma modulacji częstotliwości, z tym że amplitudy wstęg bocznych zależą od pierwszych funkcji Bessela, podobnie jak w przypadku modulacji częstotliwości (FM). Zmiana fazy sygnału powoduje przesunięcia w widmie, które reprezentują różne wstęgi boczne o amplitudach $J_n(\beta)$, gdzie $\beta$ jest współczynnikiem dewiacji fazowej (określającym jak silnie zmienia się faza nośnej w zależności od sygnału modulującego). Zatem, widmo sygnału PM wyraża się jako: $$S(f) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} J_n(\beta) \cdot \delta(f - f_c - n f_m)$$ gdzie $J_n(\beta)$ to funkcje Bessela pierwszego rodzaju z indeksem $n$, a $\beta = k_p \cdot m_{\text{max}}$, gdzie $m_{\text{max}}$ to maksymalna wartość amplitudy sygnału modulującego $m(t)$. Podobnie jak w przypadku modulacji częstotliwości, w modulacji fazowej dla małych wartości $\beta$ pojawiają się tylko pierwsze wstęgi boczne, a dla większych wartości $\beta$ widmo staje się szersze, rozprzestrzeniając się na wiele wstęg bocznych. Wykresy takie same jak dla modulacji FM ===== Modulacje cyfrowe ===== Modulacje cyfrowe są stosowane w transmisji sygnałów cyfrowych, gdzie informacja jest przekazywana przez zmianę parametrów nośnej, takich jak amplituda, częstotliwość czy faza. Dzięki tym technikom możliwa jest efektywna transmisja danych w systemach telekomunikacyjnych. {{:notatki:pasted:20250507-205936.png}} Modulacje cyfrowe ASK, FSK, PSK dla zakodowanego ciągu 1010 ==== Modulacja ASK (Amplitude Shift Keying) ==== Modulacja amplitudy (ASK) jest jedną z podstawowych modulacji cyfrowych, w której amplituda nośnej jest modulowana w zależności od wartości cyfrowych bitów. W modulacji ASK mamy dwie możliwe amplitudy: $$s(t) = \begin{cases} A_1 \cos(2 \pi f_c t) & \text{dla bitu 1} \\ A_2 \cos(2 \pi f_c t) & \text{dla bitu 0} \end{cases}$$ gdzie $A_1$ i $A_2$ to różne amplitudy odpowiadające stanowi logicznemu 1 i 0, a $f_c$ to częstotliwość nośna. W przypadku tej modulacji sygnał ma tylko jedną wstęgę boczną, której amplituda jest zmieniana zgodnie z wartością przesyłanego bitu. ==== Modulacja FSK (Frequency Shift Keying) ==== Modulacja częstotliwości (FSK) polega na zmianie częstotliwości nośnej w zależności od wartości bitu. W przypadku dwufazowej modulacji FSK mamy dwie częstotliwości $f_1$ i $f_2$, które odpowiadają wartościom bitów 0 i 1. Wzór na sygnał w tej modulacji to: $$s(t) = \begin{cases} A \cos(2 \pi f_1 t) & \text{dla bitu 1} \\ A \cos(2 \pi f_2 t) & \text{dla bitu 0} \end{cases}$$ gdzie $f_1$ i $f_2$ to różne częstotliwości nośne, a $A$ to amplituda nośnej. Modulacja FSK jest odporniejsza na zakłócenia i szumy w porównaniu do ASK, ponieważ zmiana częstotliwości jest mniej wrażliwa na zmiany amplitudy sygnału. ==== Modulacja PSK (Phase Shift Keying) ==== Modulacja fazowa (PSK) polega na zmianie fazy nośnej w zależności od przesyłanych bitów. W najprostszej wersji PSK (BPSK, Binary PSK) mamy dwie możliwe fazy, np. 0 i $\pi$, odpowiadające bitom 0 i 1. Wzór na sygnał PSK to: $$s(t) = A \cos \left( 2 \pi f_c t + \phi_k \right)$$ gdzie $\phi_k \in \{ 0, \pi \}$ jest fazą nośnej, która zmienia się w zależności od wartości bitu (0 lub 1). W przypadku PSK możliwa jest również rozszerzona wersja, jak QPSK, gdzie modulujemy cztery różne fazy (np. $0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}$). ==== Modulacje kwadraturowe ==== {{QAM.png|image}} Wykres amplitudowo-fazowy sygnału 16QAM Modulacje kwadraturowe to technika, w której informacje są transmitowane poprzez modulację zarówno amplitudy, jak i fazy nośnej. Najpopularniejsze przykłady to QAM (Quadrature Amplitude Modulation), gdzie zarówno amplituda, jak i faza są zmieniane w sposób zrównoważony. W przypadku QAM możemy mieć np. QPSK (Quadrature Phase Shift Keying), gdzie na jednej nośnej transmitowane są dwie oddzielne składowe fazowe. Sygnał wyjściowy QPSK może być opisany równaniem: $$s(t) = A_1 \cos(2 \pi f_c t + \phi_1) + A_2 \cos(2 \pi f_c t + \phi_2)$$ gdzie $A_1$ i $A_2$ to amplitudy, a $\phi_1$ i $\phi_2$ to fazy, które mogą przyjmować różne wartości w zależności od kombinacji bitów (np. dla QPSK cztery różne kombinacje fazowe). Modulacje kwadraturowe, takie jak QAM i QPSK, oferują większą efektywność w wykorzystaniu pasma, ponieważ na każdą nośną można przesłać więcej informacji. ===== Modulacje Impulsowe ===== Modulacje impulsowe są technikami, w których informacje są przesyłane za pomocą impulsów o określonych właściwościach, takich jak amplituda, czas trwania czy pozycja w czasie. Wykorzystywane są w różnych aplikacjach komunikacyjnych, w tym w telekomunikacji, systemach radarowych oraz cyfrowych systemach transmisji danych. Celem tych modulacji jest uzyskanie efektywnej transmisji informacji w ograniczonym paśmie oraz zapewnienie odporności na zakłócenia. Do głównych typów modulacji impulsowych należy: PAM, PWM, PPM i PCM. ==== Modulacja PAM (Pulse Amplitude Modulation) ==== === Opis === Modulacja amplitudy impulsu (PAM) jest jedną z najprostszych form modulacji, w której amplituda impulsów jest zmieniana w zależności od informacji, którą chcemy przesłać. W tej metodzie amplituda kolejnych impulsów jest proporcjonalna do wartości sygnału informacyjnego. === Wzór matematyczny === Matematycznie, sygnał w modulacji PAM może być zapisany jako: $$s(t) = \sum_{n=0}^{N-1} m_n \cdot p(t - nT),$$ gdzie: - $m_n$ – amplituda impulsu na $n$-tej próbce, - $T$ – okres próbkowania, - $p(t)$ – funkcja impulsu (np. funkcja prostokątna). === Zasada działania === W modulacji PAM amplituda impulsów jest bezpośrednio zależna od wartości sygnału informacyjnego. Zmiana amplitudy impulsów może być realizowana w sposób dyskretny (np. dla sygnałów binarnych) lub ciągły (w przypadku sygnałów analogowych). === Zastosowanie === Modulacja PAM jest stosowana głównie w transmisji sygnałów cyfrowych i analogowych w systemach, gdzie szerokość pasma nie jest ściśle ograniczona, takich jak systemy telekomunikacyjne. === Wykres === Sygnał PAM w domenie czasu to seria impulsów o zmiennej amplitudzie. Poniżej przedstawiono wykres przykładowego sygnału PAM: {{PAM.png|image}} Wykres modulacji PAM w czasie ==== Modulacja PWM (Pulse Width Modulation) ==== === Opis === Modulacja szerokości impulsu (PWM) polega na zmianie czasu trwania impulsu w zależności od wartości sygnału informacyjnego. Częstotliwość impulsów jest stała, a zmienia się tylko ich szerokość. === Wzór matematyczny === W przypadku PWM sygnał opisujemy wzorem: $$s(t) = \sum_{n=0}^{N-1} m_n \cdot u(t - nT),$$ gdzie: - $m_n$ – amplituda impulsu, zależna od szerokości impulsu, - $u(t)$ – funkcja prostokątna o zmiennym czasie trwania. === Zasada działania === W modulacji PWM szerokość impulsów jest funkcją wartości sygnału informacyjnego. Zmieniając szerokość impulsów, można kodować różne poziomy sygnału, co pozwala na bardziej precyzyjną transmisję. === Zastosowanie === PWM jest powszechnie wykorzystywana w systemach sterowania silnikami, a także w elektronice do regulacji mocy (np. w zasilaczach). Ponadto, modulacja PWM znajduje zastosowanie w transmisji audio i wideo. === Wykres === Sygnał PWM w domenie czasu to seria prostokątnych impulsów o zmieniającej się szerokości: {{PWM.png|image}} Wykres modulacji PWM o zmiennych długościach impulsu ==== Modulacja PPM (Pulse Position Modulation) ==== === Opis === Modulacja pozycji impulsu (PPM) polega na przesuwaniu czasu wystąpienia impulsu w zależności od wartości sygnału informacyjnego. W tej metodzie amplituda impulsu pozostaje stała, ale jego pozycja w czasie jest zmieniana. === Wzór matematyczny === Sygnał w modulacji PPM można zapisać jako: $$s(t) = \sum_{n=0}^{N-1} m_n \cdot p(t - nT - \Delta t_n),$$ gdzie: - $m_n$ – amplituda impulsu, - $\Delta t_n$ – opóźnienie impulsu zależne od sygnału informacyjnego. === Zasada działania === W PPM, zmieniając czas wystąpienia impulsu (pozycję), kodujemy informację. Czas pomiędzy impulsami jest stały, natomiast ich pozycje są funkcją sygnału. === Zastosowanie === Modulacja PPM jest wykorzystywana w systemach, które muszą przesyłać dane w sposób odporny na zakłócenia, takich jak systemy komunikacji optycznej. === Wykres === Sygnał PPM w domenie czasu to seria impulsów, których pozycja w czasie zmienia się w zależności od informacji. {{PPM.png|image}} Wykres modulacji PPM w czasie ==== Modulacja PCM (Pulse Code Modulation) ==== === Opis === Modulacja kodowania impulsów (PCM) to technika cyfrowej modulacji, która polega na próbkowaniu sygnału analogowego i przekształcaniu go w dyskretną sekwencję impulsów. Każdy impuls reprezentuje określoną wartość próbki sygnału analogowego. === Wzór matematyczny === Sygnał PCM zapisujemy jako: $$s(t) = \sum_{n=0}^{N-1} m_n \cdot \delta(t - nT),$$ gdzie: - $m_n$ – wartość próbki sygnału, - $\delta(t)$ – funkcja Diraca (impuls jednostkowy). === Zasada działania === W PCM sygnał analogowy jest próbkowany w określonych odstępach czasu, a następnie każda próbka jest kodowana w postaci cyfrowej (najczęściej w postaci binarnej). Transmitowane są cyfrowe impulsy, które reprezentują poziomy sygnału w danym czasie. === Zastosowanie === PCM jest szeroko stosowana w cyfrowych systemach komunikacji, w tym w telefonii cyfrowej, kompresji audio (np. w formacie MP3) oraz w systemach dźwiękowych. === Wykres === Sygnał PCM to ciąg impulsów, które reprezentują cyfrowe próbki sygnału analogowego: {{PCM.png|image}} Wykres modulacji PCM w czasie (sygnał po procesie kwantyzacji) ====== Transimpedancja: Zastosowanie, Działanie i Zjawiska Fizyczne ====== Transimpedancja jest istotnym pojęciem w elektronice, szczególnie w kontekście wzmacniaczy transimpedancyjnych (TIA – ang. Transimpedance Amplifier). Jest to parametr opisujący konwersję prądu wejściowego na napięcie wyjściowe. Formalnie, transimpedancja $Z_T$ jest definiowana jako: $$Z_T = \frac{V_{out}}{I_{in}}$$ co oznacza, że jednostką transimpedancji jest om ($\Omega$). ===== Zastosowanie ===== Wzmacniacze transimpedancyjne znajdują szerokie zastosowanie w układach przetwarzających sygnały z czujników prądowych, takich jak: * Fotodiody w układach optoelektronicznych (np. odbiorniki światłowodowe, detektory optyczne). * Sondy prądowe w oscyloskopach. * Systemy biometryczne i sensory chemiczne. ===== Działanie i Modelowanie Matematyczne ===== {{:notatki:pasted:20250507-210017.png}} Najczęściej stosowanym układem wzmacniacza transimpedancyjnego jest wzmacniacz operacyjny z rezystorem sprzężenia zwrotnego $R_f$, który zapewnia odpowiednią konwersję sygnału. Schemat układu przedstawia się następująco: (0.5,0) node[op amp] (opamp) (opamp.+) – (-2,-0.5) node[ground] (opamp.-) – (-1,0.5) to[short, -*] (-1,1.5) to[R, l=$R_f$] (2,1.5) to[short, -o] (3,1.5) node[right]$V_{out}$ (-1,1.5) to[short] (-1,3) to[I, l=$I_{in}$] (-1,5) node[above] (opamp.out) – (1.70,1.5); Z analizy węzłowej na wejściu wzmacniacza operacyjnego wynika, że napięcie na wejściu odwracającym wynosi $0V$ (idealny model wzmacniacza operacyjnego). Stosując prawo Ohma do rezystora sprzężenia zwrotnego: $$V_{out} = -I_{in} R_f$$ co pokazuje, że transimpedancja wynosi: $$Z_T = -R_f$$ ===== Znaczenie znaku minus przy R_f ===== Znak minus w wyrażeniu $Z_T = -R_f$ oznacza, że wzmacniacz transimpedancyjny dokonuje odwrócenia fazy sygnału. Oznacza to, że jeśli prąd wejściowy $I_{in}$ jest dodatni, napięcie wyjściowe $V_{out}$ będzie ujemne i odwrotnie. Jest to konsekwencja działania wzmacniacza operacyjnego w konfiguracji odwracającej, w której napięcie na wejściu odwracającym jest równe zeru (masie wirtualnej), a sprzężenie zwrotne przez $R_f$ powoduje odwrotność biegunowości sygnału. ===== Zjawiska Fizyczne i Ograniczenia ===== W praktycznych zastosowaniach należy uwzględnić kilka istotnych efektów: * **Szum Johnsona-Nyquista** – rezystor sprzężenia zwrotnego generuje szum termiczny, który może ograniczać czułość układu. * **Pojemność wejściowa** – fotodiody i inne sensory prądowe mają swoją pojemność własną $C_d$, co wpływa na pasmo przenoszenia układu. * **Pasmo przenoszenia** – w rzeczywistości wzmacniacz operacyjny posiada skończoną szybkość narastania napięcia (slew rate) i ograniczoną szerokość pasma, co wpływa na odpowiedź układu na sygnały zmienne w czasie. Aby poprawić stabilność i pasmo przenoszenia wzmacniacza transimpedancyjnego, często stosuje się kompensację biegunów poprzez dodanie kondensatora równolegle z rezystorem $R_f$, co redukuje oscylacje i zwiększa stabilność układu. ===== Podsumowanie ===== Wzmacniacze transimpedancyjne są kluczowym elementem wielu układów przetwarzających sygnały z sensorów prądowych. Ich projektowanie wymaga uwzględnienia zarówno parametrów elektronicznych, jak i efektów fizycznych, takich jak szumy i ograniczenia częstotliwościowe. Poprawna analiza matematyczna pozwala na optymalizację układów i zapewnienie ich stabilnej pracy w rzeczywistych zastosowaniach. ====== Układy BalUn (włas. Symetryzatory) ====== Układ BalUn (Balanced to Unbalanced) to transformator impedancyjny stosowany do konwersji sygnałów między układami zrównoważonymi (balanced) a niezrównoważonymi (unbalanced). Jego głównym zadaniem jest zapewnienie odpowiedniej transformacji impedancji między tymi dwoma typami układów. ===== Historia nazwy ===== Nazwa BalUn pochodzi od angielskich słów //Balanced// (zrównoważony) oraz //Unbalanced// (niezrównoważony). Układy te są szeroko stosowane w komunikacji radiowej oraz transmisji sygnałów, gdzie zrównoważone linie (np. kabel koncentryczny) są wykorzystywane do przesyłania sygnałów w systemach antenowych, a układy niezrównoważone (np. układy z impedancją 50 $\Omega$) są powszechnie wykorzystywane w sprzęcie radiowym. ===== Znaczenie transimpedancji w BalUn ===== Transimpedancja w układzie BalUn jest kluczowym parametrem, ponieważ określa zdolność układu do konwersji sygnału z jednej formy na drugą, jednocześnie zachowując odpowiednią impedancję. W praktyce, transimpedancja BalUn zależy od rodzaju zastosowanego transformatora i jego charakterystyki. Współczesne BalUn-y wykorzystywane w urządzeniach RF (Radio Frequency) muszą być zaprojektowane tak, by zminimalizować straty sygnału, zapewniając niskie wartości transimpedancji przy odpowiednich parametrach. ===== Obliczanie parametrów BalUn ===== Parametry BalUn są zależne od kilku czynników, takich jak stosunek impedancji (np. 50 $\Omega$ do 200 $\Omega$), częstotliwość sygnału oraz kształt transformatora. Aby obliczyć transimpedancję, wykorzystuje się wzory zależne od typu transformatora: $$Z_{\text{balun}} = \sqrt{Z_{\text{in}} \cdot Z_{\text{out}}}$$ gdzie: - $Z_{\text{in}}$ to impedancja wejściowa, - $Z_{\text{out}}$ to impedancja wyjściowa. Dla układu BalUn transformacja impedancji odbywa się w sposób proporcjonalny, a transformator pełni rolę obniżania lub podwyższania impedancji w zależności od konstrukcji układu. ===== Schemat układu BalUn ===== Poniżej przedstawiono prosty schemat układu BalUn: {{balun.png|image}} Schemat układu BalUn ====== Układy UnUn ====== Układ UnUn (Unbalanced to Unbalanced) jest również układem transformującym impedancję, jednak w tym przypadku oba końce układu są niezrównoważone. Układy te są stosowane głównie do dopasowywania impedancji w obwodach, gdzie oba elementy systemu są zbudowane na linii niezrównoważonej. ===== Historia nazwy ===== Podobnie jak w przypadku układu BalUn, nazwa UnUn pochodzi od angielskich słów //Unbalanced// oraz //Unbalanced//. W tym układzie, głównym celem jest dopasowanie impedancji między dwoma niezrównoważonymi układami, np. między dwoma urządzeniami, które działają na różnych poziomach impedancji (np. 75 $\Omega$ i 50 $\Omega$). Układ ten jest powszechnie stosowany w sieciach telekomunikacyjnych oraz w systemach audio. ===== Znaczenie transimpedancji w UnUn ===== Transimpedancja w układzie UnUn pełni podobną rolę jak w układzie BalUn, ponieważ pozwala na skuteczną konwersję sygnału między różnymi impedancjami niezrównoważonymi. Jest to istotne w kontekście dopasowania impedancji dla poprawnej transmisji sygnałów oraz unikania strat mocy. ===== Obliczanie parametrów UnUn ===== Podobnie jak w przypadku BalUn, obliczanie parametrów układu UnUn zależy od impedancji wejściowej i wyjściowej. Wzór na transimpedancję w przypadku układu UnUn jest następujący: $$Z_{\text{unun}} = \frac{Z_{\text{in}} \cdot Z_{\text{out}}}{Z_{\text{in}} + Z_{\text{out}}}$$ gdzie: - $Z_{\text{in}}$ to impedancja wejściowa, - $Z_{\text{out}}$ to impedancja wyjściowa. Układy UnUn mogą być wykorzystywane do łączenia urządzeń o różnych impedancjach, co sprawia, że są one szczególnie użyteczne w systemach audio i telekomunikacyjnych. ===== Schemat układu UnUn ===== Poniżej przedstawiono przykładowy schemat układu UnUn: {{unun.png|image}} Schemat układu UnUn ====== Wykresy Smitha i ich zastosowanie w dopasowaniu impedancyjnym ====== {{smith-easy.jpg|image}} Ilustracja ułatwiająca zrozumienie działania wykresu smitha Wykres Smitha jest narzędziem graficznym wykorzystywanym w telekomunikacji oraz elektronice do analizy impedancji i dopasowywania impedancyjnego w układach radiowych, mikrofalowych i innych obwodach RF. Jest to szczególny przypadek wykresu zespolonego, na którym reprezentowane są zarówno impedancje, jak i admitancje. Dzięki swojej konstrukcji, wykres Smitha pozwala na łatwe przedstawienie właściwości impedancyjnych obwodów, co ułatwia projektowanie układów RF. ===== Podstawowe pojęcia ===== Impedancja $Z$ obwodu elektrycznego jest wielkością zespoloną i ma postać: $$Z = R + jX$$ gdzie: * $R$ – rezystancja, * $X$ – reaktancja, * $j$ – jednostka urojona. Wykres Smitha przedstawia impedancje w układzie zespolonym, gdzie osie odpowiadają za komponenty rezystancyjne i reaktancyjne. Główne elementy wykresu to okręgi odpowiadające wartościom rezystancji, oraz okręgi odpowiadające wartościom reaktancji. ===== Zastosowanie wykresu Smitha do dopasowania impedancyjnego ===== Dopasowanie impedancyjne jest procesem dostosowywania impedancji źródła i obciążenia, aby zminimalizować straty energii i zapewnić maksymalny transfer mocy. Wykres Smitha jest narzędziem umożliwiającym szybkie i intuicyjne dokonanie tego dopasowania. Zastosowanie wykresu Smitha do dopasowania impedancyjnego obejmuje następujące kroki: - **Określenie impedancji źródła i obciążenia:** Na wykresie Smitha przedstawiamy impedancje źródła i obciążenia jako punkty na odpowiednich okręgach, które reprezentują wartość rezystancyjną oraz reaktancyjną. - **Obliczenie współczynnika dopasowania:** Następnie wyznaczamy współczynnik dopasowania (np. współczynnik odbicia) na podstawie odległości między punktami reprezentującymi impedancje źródła i obciążenia oraz centrum wykresu. Wartość ta wskazuje na jakość dopasowania impedancyjnego. - **Dobór elementu dopasowującego:** Wykres Smitha pozwala na wybranie odpowiednich elementów dopasowujących, takich jak dławiki, kondensatory lub inne elementy pasywne, które pozwolą na przesunięcie punktu impedancyjnego w stronę centrum wykresu. Przesunięcie to zmniejsza współczynnik odbicia i poprawia efektywność dopasowania. Ważną cechą wykresu Smitha jest to, że umożliwia on również wizualizację zmian impedancji w zależności od długości linii transmisyjnej. Na przykład, zmieniająca się impedancja wzdłuż linii transmisyjnej może być przedstawiona jako krzywa na wykresie, co ułatwia ocenę efektów zmiany długości linii na dopasowanie impedancyjne. ===== Matematyka leżąca u podstaw wykresu Smitha ===== Wykres Smitha jest narzędziem, które opiera się na matematyce zespolonej i transformacjach impedancji. Jego celem jest przedstawienie impedancji i admitancji w sposób graficzny, co pozwala na intuicyjne zrozumienie ich właściwości oraz łatwe dopasowanie impedancyjne. W tej subsekcji omówimy matematyczne podstawy wykresu Smitha, w tym sposób reprezentacji impedancji oraz zależności między impedancją, admitancją a współczynnikiem odbicia. ==== Impedancja i jej reprezentacja na płaszczyźnie zespolonej ==== Impedancja $Z$ jest wielkością zespoloną, którą można zapisać w postaci: $$Z = R + jX$$ gdzie: * $R$ – część rzeczywista, odpowiadająca rezystancji, * $X$ – część urojona, odpowiadająca reaktancji, * $j$ – jednostka urojona, $j^2 = -1$. Wykres Smitha opiera się na odwzorowaniu tej impedancji na jednostkowym okręgu w płaszczyźnie zespolonej. Impedancje normalizowane względem charakterystycznej impedancji linii transmisyjnej $Z_0$ są przedstawiane jako punkt na tym okręgu, gdzie: $$z = \frac{Z}{Z_0}$$ Reprezentacja impedancji na wykresie Smitha uwzględnia zarówno rezystancję, jak i reaktancję, a okręgi na wykresie odpowiadają różnym wartościom tych parametrów. ==== Admitancja ==== Admitancja to odwrotność impedancji w obwodach prądu zmiennego. Jest to wielkość zespolona, która opisuje łatwość przepływu prądu przez elementy obwodu. Admitancję $Y$ definiuje się jako odwrotność impedancji $Z$: $$Y = \frac{1}{Z} = \frac{1}{R + jX}$$ gdzie: * $R$ – rezystancja, * $X$ – reaktancja, * $j$ – jednostka urojona. Admitancja jest również wielkością zespoloną, której część rzeczywista to konduktancja ($G$ - odwrotność rezystancji), a część urojona to susceptancja ($B$): $$Y = G + jB$$ W obwodach elektrycznych, konduktancja ($G$) mierzy zdolność przewodzenia prądu, a susceptancja ($B$) odpowiada za reakcję elementów obwodu, takich jak kondensatory i dławiki, na zmienne pole elektryczne. Podobnie jak impedancja, admitancja jest wykorzystywana w analizach linii transmisyjnych i w dopasowaniu impedancyjnym.\\ ==== Transformacja impedancji do admitancji ==== Na wykresie Smitha przedstawiane są nie tylko impedancje, ale również admitancje, które są odwrotnością impedancji. Admitancję $Y$ oblicza się jako: $$Y = \frac{1}{Z} = \frac{1}{R + jX}$$ Zaletą wykresu Smitha jest to, że umożliwia on jednoczesne przedstawienie zarówno impedancji, jak i admitancji, co jest szczególnie przydatne w analizach linii transmisyjnych i dopasowania impedancyjnego. Wartości admitancji można wyrazić w postaci: $$Y = G + jB$$ gdzie: * $G$ – konduktancja, część rzeczywista admitancji, * $B$ – susceptancja, część urojona admitancji. Na wykresie Smitha dla admitancji, osie odpowiadają podobnym wartościom, ale reprezentują one konduktancję i susceptancję. Okręgi, które reprezentują admitancje, są symetryczne względem osi rzeczywistej. ==== Współczynnik odbicia ==== Kolejnym ważnym elementem matematycznym związanym z wykresem Smitha jest współczynnik odbicia $\Gamma$, który opisuje stopień, w jakim sygnał zostaje odbity od obciążenia. Współczynnik odbicia jest definiowany jako stosunek amplitudy fali odbitej do amplitudy fali przychodzącej i może być obliczany ze wzoru: $$\Gamma = \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0}$$ gdzie: * $Z_L$ – impedancja obciążenia, * $Z_0$ – charakterystyczna impedancja linii transmisyjnej. Na wykresie Smitha współczynnik odbicia jest przedstawiany jako odległość punktu reprezentującego impedancję obciążenia od centrum wykresu. Wartość $\Gamma = 0$ oznacza brak odbicia (impedancja dopasowana), podczas gdy $\Gamma = 1$ oznacza pełne odbicie (impedancja źródła i obciążenia są całkowicie niedopasowane). ==== Mapowanie impedancji na wykresie Smitha ==== Podstawową ideą wykresu Smitha jest mapowanie impedancji normalizowanej $z = \frac{Z}{Z_0}$ na okrągłej siatce. Okręgi te mogą być interpretowane w kontekście rozkładu wartości $R$ (rezystancja) i $X$ (reaktancja). W zależności od wartości $z$, impedancje mogą zostać przedstawione na wykresie jako: * Punkty na okręgach odpowiadających rezystancji stałej (wartości $R$), * Punkty na okręgach odpowiadających reaktancji stałej (wartości $X$), * Linie łączące punkty na wykresie reprezentują zmiany w impedancji w wyniku zmian długości linii transmisyjnej. Wszystkie te transformacje umożliwiają wizualizację i manipulację impedancjami i admitancjami w sposób umożliwiający łatwe przeprowadzanie dopasowania impedancyjnego i rozwiązywanie problemów związanych z maksymalnym transferem mocy. ===== Przykład ===== Załóżmy, że mamy obwód z impedancją źródła $Z_s = 100 + j50 \, \Omega$. Aby dopasować impedancję, możemy na wykresie Smitha zaznaczyć punkt i znaleźć odpowiedni element dopasowujący, na przykład kondensator lub dławik, który przesunie impedancję w stronę centrum wykresu.\\ Program wykorzystany do prezentacji poniżej można pobrać pod linkiem: [[ http://filevista.ardugeek.ovh/public/yq/wykres-smitha.exe | http:%%//%%filevista.ardugeek.ovh/public/yq/wykres-smitha.exe ]] link jest zbezpieczony hasłem: //Radio23022025//\\ Program niestety jest w wersji demo. {{smith.png}} Zastosowanie wykresu smitha Po wykonaniu obliczeń przez program możemy zauważyć że żeby wyrównać impedancję do wartości 50 $\Omega$ musimy zastosować rezystor równolegle do źródła sygnału o wartości około 100 $\Omega$ oraz kondensator szeregowo do źródła o wartości około około 30 $pF$ 99 //Vestigial Sideband Modulation System (VSB)//. https://www.eeeguide.com/vestigial-sideband-modulation-system-vsb/. //Wikipedia free online encyclopedia//. https://www.wikipedia.org/. //Microwaves101.com The world’s microwave information source since 2001//. https://www.microwaves101.com/encyclopedias/smith-chart-basics.