====== 21. Prawa Kirchhoffa ======

==== Wprowadzenie ====

Prawa Kirchhoffa to podstawowe zasady analizy obwodów elektrycznych. Sformułował je niemiecki fizyk **Gustav Robert Kirchhoff** w 1845 roku. Umożliwiają one rozwiązywanie złożonych układów, gdzie samo prawo Ohma jest niewystarczające.

Dzielą się na dwa prawa:
  * **Prawo węzłów Kirchhoffa (I prawo)**
  * **Prawo oczek Kirchhoffa (II prawo)**

Oba prawa opierają się na zasadach zachowania:
  * **ładunku elektrycznego** (prawo węzłów),
  * **energii** (prawo oczek).

==== I Prawo Kirchhoffa – Prawo węzłów ====

**Treść prawa:**

> Suma prądów wpływających do węzła jest równa sumie prądów wypływających z węzła.

Matematycznie:

$$
\sum I_{\text{wpływające}} = \sum I_{\text{wypływające}}
$$

Lub ogólnie (z uwzględnieniem znaków):

$$
\sum_{k=1}^{n} I_k = 0
$$

Gdzie:
  * **węzeł** – punkt połączenia trzech lub więcej elementów w obwodzie,
  * **Iₖ** – prąd w gałęzi przyłączonej do węzła (przyjmowany dodatni jeśli wpływa do węzła, ujemny jeśli wypływa – lub odwrotnie, byle spójnie).

=== Przykład ===

Dla węzła z trzema gałęziami:

  * \( I_1 = 2\,A \) wpływa,
  * \( I_2 = 3\,A \) wpływa,
  * \( I_3 \) wypływa.

Z prawa Kirchhoffa:

$$
I_1 + I_2 - I_3 = 0 \quad \Rightarrow \quad I_3 = 5\,A
$$

==== II Prawo Kirchhoffa – Prawo oczek ====

**Treść prawa:**

> Suma algebraiczna napięć w zamkniętej pętli (oczku) obwodu jest równa zeru.

Matematycznie:

$$
\sum_{k=1}^{n} U_k = 0
$$

Gdzie:
  * **oczko** – dowolna zamknięta droga w obwodzie elektrycznym,
  * **Uₖ** – napięcia na poszczególnych elementach (znak zależy od przyjętego kierunku oczka).

=== Zasady znakowania napięć ===

Przy obiegu zgodnym z kierunkiem źródła:
  * napięcie **źródła** – dodatnie (\(+U\)),
  * napięcie **na oporze** (spadek napięcia) – ujemne (\(-IR\)).

=== Przykład ===

Obwód oczkowy z jednym źródłem \( U = 12\,V \) i dwoma rezystorami:
  * \( R_1 = 2\,\Omega \),
  * \( R_2 = 4\,\Omega \).

Zakładamy kierunek prądu zgodny z napięciem źródła.

Z prawa oczek:

$$
U - I \cdot R_1 - I \cdot R_2 = 0
$$

$$
12 - 2I - 4I = 0 \Rightarrow 6I = 12 \Rightarrow I = 2\,A
$$

==== Metoda oczkowa i metoda węzłowa ====

Prawa Kirchhoffa stanowią podstawę do:
  * **metody oczkowej** – piszemy równania napięciowe dla oczek,
  * **metody węzłowej** – piszemy równania prądowe dla węzłów.

Obie metody prowadzą do układów równań, które można rozwiązywać metodami algebraicznymi, np. podstawiania, macierzy, Cramera.

==== Zastosowanie praw Kirchhoffa ====

  * Analiza złożonych obwodów (DC i AC).
  * Wyznaczanie prądów, napięć i mocy w różnych gałęziach.
  * Projektowanie i diagnostyka układów elektronicznych.
  * Symulacja i modelowanie obwodów.

==== Podsumowanie ====

  * **I prawo Kirchhoffa (węzłów):** zasada zachowania ładunku.
  * **II prawo Kirchhoffa (oczek):** zasada zachowania energii.
  * Oba prawa są niezależne od charakterystyki elementów — obowiązują zawsze.
  * W połączeniu z prawem Ohma pozwalają rozwiązać dowolny liniowy obwód elektryczny.