Różnice

Różnice między wybraną wersją a wersją aktualną.

--- narzedzia:php_global_warming [2025/05/17 23:02] – [Matematyka: regresja liniowa] administrator
+++ narzedzia:php_global_warming [2025/05/17 23:07] (aktualna) – [Matematyka: regresja liniowa] administrator
@@ Linia 96: / Linia 96: @@
 </WRAP>
-W celu wyznaczenia prostoliniowego trendu danych (tzw. regresji liniowej) stosujemy model matematyczny:
+Poniższy fragment opisuje metodę najmniejszych kwadratów (ang. *least squares*) stosowaną do wyznaczenia parametrów prostej regresji liniowej, czyli współczynników nachylenia i wyrazu wolnego.
+Metoda polega na minimalizacji sumy kwadratów odchyleń (residuals) pomiędzy rzeczywistymi wartościami \(y_i\) a wartościami przewidywanymi \(\hat{y}_i\) przez model liniowy $$y = \beta_0 + \beta_1 x$$, co wyraża funkcja kryterium:
 $$
-y = a \cdot x + b
+S(\beta_0, \beta_1) \;=\;\sum_{i=1}^n \bigl(y_i - (\beta_0 + \beta_1 x_i)\bigr)^2.
 $$
-Gdzie:
-  * $x$ – niezależna zmienna (czas, indeks daty),
-  * $y$ – zmienna zależna (temperatura),
-  * $a$ – współczynnik kierunkowy (nachylenie),
-  * $b$ – wyraz wolny (punkt przecięcia z osią Y).
-Aby obliczyć $a$ i $b$, używamy poniższych wzorów:
+Aby znaleźć optymalne \(\beta_0\) i \(\beta_1\), rozwiązujemy układ tzw. równań normalnych:
 $$
-a = \frac{n \sum x_i y_i - \sum x_i \sum y_i}{n \sum x_i^2 - (\sum x_i)^2}
+\begin{cases}
-$$
+\displaystyle \frac{\partial S}{\partial \beta_1} \;=\; -2 \sum_{i=1}^n x_i\,(y_i - \beta_0 - \beta_1 x_i)\;=\;0,\\[1em]
+\displaystyle \frac{\partial S}{\partial \beta_0} \;=\; -2 \sum_{i=1}^n (y_i - \beta_0 - \beta_1 x_i)\;=\;0.
+\end{cases}
+$$
-$$
+Rozwiązując ten układ, otrzymujemy wzory na estymatory:
-b = \frac{\sum y_i - a \sum x_i}{n}
+  * $$\hat{\beta}_1 = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2},$$
-$$
+  * $$\hat{\beta}_0 = \bar{y} - \hat{\beta}_1\,\bar{x},$$
+gdzie \(\bar{x} = \frac{1}{n}\sum x_i\) i \(\bar{y} = \frac{1}{n}\sum y_i\).
-Gdzie:
+Inna, równoważna postać wzoru na nachylenie prostej korzysta z sum iloczynów i sum kwadratów:
-  * $n$ – liczba punktów danych,
+multiline $$
-  * $\sum x_i$ – suma wszystkich wartości $x$ (np. indeksów dat),
+\hat{\beta}_1
-  * $\sum y_i$ – suma wszystkich temperatur,
+= \frac{n\sum_{i=1}^n x_i y_i \;-\; \sum_{i=1}^n x_i \sum_{i=1}^n y_i}
-  * $\sum x_i y_i$ – suma iloczynów $x_i \cdot y_i$,
+       {n\sum_{i=1}^n x_i^2 \;-\; \bigl(\sum_{i=1}^n x_i\bigr)^2}\,,
-  * $\sum x_i^2$ – suma kwadratów wartości $x_i$.
+$$
+a wyraz wolny:
+multiline $$
+\hat{\beta}_0
+= \frac{\sum_{i=1}^n y_i - \hat{\beta}_1\sum_{i=1}^n x_i}{n}
+=\bar{y}-\hat{\beta}_1\bar{x}\,.
+$$
-Następnie dla każdego punktu $x_i$ obliczamy odpowiadające $y_i$ na linii trendu:
+W praktycznej implementacji, gdy \(x_i\) to kolejne indeksy czasowe (0, 1, …, n‑1), obliczenia skracają się do wersji:\\
+$$x_i = i,\quad y_i = \text{Temp}[i],$$
-$$
+pozwalając łatwo wygenerować tablicę wartości trendu:\\
-\hat{y_i} = a \cdot x_i + b
+$$\hat{y}_i = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1\,i.$$
-$$
-Wartości $\hat{y_i}$ tworzą prostą linię trendu, którą dodajemy do wykresu obok rzeczywistych danych.
+Interpretacja parametrów:
+  * \(\hat{\beta}_1\) – średnia zmiana \(y\) przy wzroście \(x\) o jednostkę, czyli nachylenie trendu liniowego
+  * \(\hat{\beta}_0\) – przewidywana wartość \(y\) dla \(x=0\), czyli punkt przecięcia z osią OY
-Dzięki temu możemy łatwo zauważyć, czy dane wykazują tendencję rosnącą, malejącą, czy są stabilne w czasie.
+Dzięki tym wzorom możemy obliczyć linię trendu, która najlepiej przybliża dane w sensie najmniejszych kwadratów, ułatwiając analizę długoterminowych tendencji.

Kacper's Wiki

Narzędzia użytkownika

Narzędzia witryny

Różnice

Narzędzia strony