Różnice

Różnice między wybraną wersją a wersją aktualną.

--- narzedzia:pendulum_py [2025/05/07 15:33] – administrator
+++ narzedzia:pendulum_py [2025/05/16 18:48] (aktualna) – administrator
@@ Linia 1: / Linia 1: @@
-{{ :narzedzia:pednulum.gif?500 |}}
+===== PY: Symulator Wahadła Podwójnego =====
-<code python>
+{{ :narzedzia:pednulum.gif?500 |Podwójne wahadło w akcji}}
+To nie jest zwykłe wahadło — to **wahadło podwójne** (ang. _double pendulum_), jeden z najprostszych układów fizycznych pokazujących zjawisko **deterministycznego chaosu**.
+Dwa ramiona, dwie masy, grawitacja — a efekt to piękny, nieprzewidywalny taniec, w którym drobna zmiana kąta startowego potrafi całkowicie zmienić przyszły ruch.
+=== Co tu się właściwie dzieje? ===
+Układ składa się z dwóch punktowych mas zawieszonych na nierozciągliwych prętach. Ruch opisuje się czterema zmiennymi:
+  * \( \theta_1 \) – kąt pierwszego ramienia względem pionu,
+  * \( \theta_2 \) – kąt drugiego ramienia względem pionu,
+  * \( \omega_1 = \dot{\theta}_1 \) – prędkość kątowa pierwszego wahadła,
+  * \( \omega_2 = \dot{\theta}_2 \) – prędkość kątowa drugiego wahadła.
+Równania ruchu pochodzą z zasad dynamiki Newtona albo bezpośrednio z mechaniki Lagrange’a:
+%%
+\begin{align*}
+\delta &= \theta_2 - \theta_1 \\
+\ddot{\theta}_1 &= \frac{m_2 l_1 \omega_1^2 \sin\delta \cos\delta + m_2 g \sin\theta_2 \cos\delta + m_2 l_2 \omega_2^2 \sin\delta - (m_1 + m_2) g \sin\theta_1}{(m_1 + m_2) l_1 - m_2 l_1 \cos^2\delta} \\
+\ddot{\theta}_2 &= \frac{-(m_1 + m_2) l_1 \omega_1^2 \sin\delta + (m_1 + m_2) g \sin\theta_1 \cos\delta - m_2 l_2 \omega_2^2 \sin\delta \cos\delta - (m_1 + m_2) g \sin\theta_2}{\left( \frac{l_2}{l_1} \right)((m_1 + m_2) l_1 - m_2 l_1 \cos^2\delta)}
+\end{align*}
+%%
+Wygląda dziko? Tak właśnie wygląda fizyka nieliniowa :)
+Ruch symulowany jest numerycznie (metodą Rungego-Kutty) i animowany z pomocą biblioteki **matplotlib** w Pythonie. Kod pozwala interaktywnie zmieniać:
+- masy obu odważników,
+- długości ramion,
+- kąty początkowe.
+Każde kliknięcie to nowy dziwny świat trajektorii.
+===== Matematyczne zaplecze: Runge-Kutta i mechanika Lagrange’a =====
+Zanim komputer może cokolwiek zasymulować, potrzebujemy dwóch rzeczy: **modelu fizycznego** (czyli równań) i **metody ich rozwiązania**.
+Dla naszego podwójnego wahadła:
+- model opisuje **mechanika Lagrange’a**,
+- rozwiązanie daje **metoda Rungego-Kutty 4. rzędu (RK4)**.
+----
+=== Mechanika Lagrange’a ===
+Zamiast klasycznych sił z II zasady Newtona, Lagrange korzysta z zasad energii. Wprowadzamy funkcję **Lagrangian**:
+$$
+L = T - V
+$$
+Gdzie:
+- $T$ — energia kinetyczna,
+- $V$ — energia potencjalna.
+Dla układu o współrzędnych uogólnionych $q_i$, równania ruchu wyprowadza się z tzw. **równań Lagrange’a**:
+$$
+\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0
+$$
+W naszym przypadku: $q_1 = \theta_1$, $q_2 = \theta_2$ — kąty ramion.
+Energie układu wyrażają się następująco:
+- Energia kinetyczna:
+$$
+T = \frac{1}{2} m_1 l_1^2 \dot{\theta}_1^2 + \frac{1}{2} m_2 \left[ l_1^2 \dot{\theta}_1^2 + l_2^2 \dot{\theta}_2^2 + 2 l_1 l_2 \dot{\theta}_1 \dot{\theta}_2 \cos(\theta_1 - \theta_2) \right]
+$$
+- Energia potencjalna (w polu grawitacyjnym):
+$$
+V = - (m_1 + m_2) g l_1 \cos\theta_1 - m_2 g l_2 \cos\theta_2
+$$
+Podstawiamy do $L = T - V$, a następnie wstawiamy do równań Lagrange’a. W efekcie otrzymujemy dwa nieliniowe równania różniczkowe drugiego rzędu, które potem przekształcamy do układu równań pierwszego rzędu.
+----
+=== Metoda Rungego-Kutty 4. rzędu (RK4) ===
+Metoda RK4 pozwala numerycznie rozwiązać układ równań różniczkowych pierwszego rzędu:
+$$
+\dot{y} = f(t, y), \quad y(t_0) = y_0
+$$
+Aby znaleźć $y_{n+1}$ w punkcie $t_{n+1} = t_n + h$, obliczamy:
+$$
+\begin{aligned}
+k_1 &= f(t_n, y_n) \\
+k_2 &= f\left(t_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{h}{2}k_1\right) \\
+k_3 &= f\left(t_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{h}{2}k_2\right) \\
+k_4 &= f(t_n + h, y_n + h k_3) \\
+y_{n+1} &= y_n + \frac{h}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)
+\end{aligned}
+$$
+To uśrednienie czterech oszacowań zmian stanu. Daje to dokładność lokalną rzędu $\mathcal{O}(h^5)$ i globalną rzędu $\mathcal{O}(h^4)$.
+W naszym kodzie użyto `solve_ivp()` z biblioteki `scipy`, która domyślnie używa wersji **RK45** — adaptacyjnej metody z kontrolą błędu i dynamicznym doborem kroku.
+----
+=== Dlaczego to działa ===
+Układ, który modelujemy:
+- jest **nieliniowy** (kąty i ich pochodne pojawiają się w funkcjach trygonometrycznych),
+- wykazuje **chaotyczne zachowanie** (olbrzymia wrażliwość na warunki początkowe),
+- **nie ma rozwiązań analitycznych** — tylko symulacja numeryczna pozwala go przeanalizować.
+Mechanika Lagrange’a pozwala zbudować poprawny fizycznie model oparty o zasady zachowania, a metoda Rungego-Kutty pozwala ten model **skutecznie i dokładnie zasymulować** na komputerze.
+----
+=== Linki dla ciekawskich ===
+  * [[https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrangian_mechanics| Mechanika Lagrange’a (EN)]]
+  * [[https://pl.wikipedia.org/wiki/Chaos_deterministyczny| Wikipedia: Chaos deterministyczny]]
+  * [[https://en.wikipedia.org/wiki/Double_pendulum| Wikipedia: Double Pendulum]]
+  * [[https://myphysicslab.com/pendulum/double-pendulum-en.html| Interaktywny model online (MyPhysicsLab)]]
+  * [[https://www.myphysicslab.com/| MyPhysicsLab — symulacje fizyczne online]]
+  * [[https://demonstrations.wolfram.com/topic.html?topic=Classical+Mechanics| Wolfram Demonstrations: Classical Mechanics]]
+  * [[https://people.maths.ox.ac.uk/suli/numerical_analysis/| Lecture notes: Numerical Analysis, Oxford]]
+----
+==== Kod programu ====
+<code python double_pendulum.py>
 import numpy as np
 import matplotlib.pyplot as plt

Kacper's Wiki

Narzędzia użytkownika

Narzędzia witryny

Różnice

Narzędzia strony